浅谈单调队列

By admin in 亚洲必赢活动砸金蛋 on 2018年12月27日

滑动窗口最值问题

给定一个尺寸为n的队列a1,a2,…ai,…,an,将一个长为k的滑动窗口自体系最左端向左侧滑动。例如:开头时,窗口内的子序列为a1,a2,…,ak;当窗口向右滑动一位,此时窗口内的子连串变为a2,a3,…,ak+1。

大家要化解的题目是,给定长度为n的序列以及滑动窗口的大小k,求每一个滑行窗口内的最小值和最大值。

以长度为5的行列1,
3, 4, 5, 7滑动窗口k=3为例表明: 

第1个滑动窗口(1,
3, 4)的细微值、最大值分别为1和4;

第2个滑动窗口(3,
4, 5)的小不点儿值、最大值分别为3和5;

第3个滑动窗口(4,
5, 7)的很小值、最大值分别为4和7。

部分使得的缓解思路

最直接的思绪,可以枚举所有窗口(一共n-k+1个),扫描窗口内的每一个因素求其最值。
全副算法的岁月复杂度是O(n*k),当数码规模较大的时候(如n=10^6,k=10^4),该算法耗时较长。

另一个便于想到的思路,将体系建线段树(或者树状数组等等),该过程的流年复杂度是O(n*logn),再通过n-k+1次查询区间最值求每个窗口对应间隔的最大(小)值。全部时间复杂度是O(n*logn)。

干燥队列:更漂亮的思绪

一种更加赏心悦目的解决措施是干巴巴队列。那么,大家就来一块揭秘「单调队列」的秘密面纱吧。

第一,第一个问题来了:干燥队列是队列——吗?
字面上去了然的话,单调队列肯定是队列,没毛病。不然怎么不叫单调栈呢。
唯独,初中地理教员有言在先:黑海不是海,是湖泊,依旧世界上低于的湖水。为毛不起个「死湖」的名字?!这些……就自行google/baidu吧。
扯远了,扯回来。
干燥队列,从严厉意义上讲还真不是「队列」
何以是队列呢?就是一中FIFO(First
In First
Out)的数据结构。所有要入队的要素,统一从队尾入队,再从队首出队。
而是,「单调队列」却不是一种FIFO的数据结构。在干燥队列中,为了珍爱队列内元素的「单调」性,所有要入队的元素,统一从队尾入队,再从对首出队,也足以从对尾直接出队

单调队列的基本操作

听起来有些神秘,先来探望单调队列(以递增队列为例)有如何基本的操作。

1.入队(push_back):对于待入队的元素,为掩护队列的递增性,假使队尾元素值大于待入队元素,则将对尾元素从队列中弹出,重复此操作,直到队列为空或者队尾元素小于待入队元素。然后,再把待入队元素添加到行列末尾。

2.出队(pop):分被动的出队(为珍爱队列单调性,将元素从队尾弹出)和积极向上的出队(和历史观的队列一样,从队首出;但是有体贴,正是以此讲究让滑动窗口最值问题可以解决)。

使用单调队列求解滑动窗口最值问题

上边,一起来探视哪些采用单调(递增)队列来缓解滑动窗口的最(小)值问题。

以长度为6的系列1,
3, 4, 5, 7, 2和滑动窗口k=3为例:

亚洲必赢活动砸金蛋,1)1入队,入队后队列变为[1];

2)3入队,3大于队尾元素1,入队后队列变为[1,
3];

3)4入队,4大于队尾元素3,入队后队列变为[1,
3, 4];

从4发端,已经形成了第1个滑动窗口,窗口内最小值就是队首元素1。

4)5入队,5大于队尾元素4,入队后队列变为[1,
3, 4, 5];

此刻,队内有4个要素,求第2个滑动窗口内最小值的策略是:

取出队首元素,假使该因素不在滑动窗口内,则将其从队列中弹出,继续取新的对首元素,直到队首元素出现在窗口内;此时,队首元素即为窗口最小值。

这也就是出队操作的「讲究」之处。

在求得第2个滑动窗口的微乎其微值后,1出于不在滑动窗口内被弹出,队列变为[3,
4, 5];

5)7入队,7大于队尾元素5,入队后队列变为[3,
4, 5, 7];

求得第3个滑动窗口的纤维值,3出于不在窗口内出队,4在窗口内,所以4为第3个窗口的蝇头值。队列变为[4,
5, 7]。

6)2入队,为保障队列的单调性,依次弹出7,
5, 4,完成入队后,队列变为[2]。

求得第4个滑动窗口最小值为2,队列保持不变,还是为[2]。

时刻复杂度

知晓单调队列的中坚之一在于,所有被动的出队(在队尾被弹出)的因素,都不容许是当下所求窗口的最值。

是因为连串中的每个元素只可能入队1次,最多也说不定出队1次,所以均摊下来,用单调队列求滑动窗口内最小值的算法时间复杂度是O(n)。

好像地,也可以行使单调递减队列来求得滑动窗口内的最大值问题。

单调队列的一个一发实用的用途,就是采纳其滑动窗口最值优化动态规划问题的时间复杂度。

除此以外,关于这些问题,你可以在这里小试牛刀。

c++源码实现

 1 #include <iostream>
 2 #include <vector>
 3 #include <deque>
 4 #include <cstdio>
 5 
 6 #define MAXN 10010
 7 
 8 class Data {
 9 public:
10     int val;
11     int idx;
12     Data() { val = idx =  0; }
13     Data(int x, int y):val(x), idx(y){}
14 };
15 
16 class OrderedQueue {
17 private:
18     Data que[MAXN]; //在部分机器上(如POJ的环境上,MAXN为10^6时,会出现Runtime Error,一种可行的方法是将其设置为全局变量(由于封装差,因此不提供这个版本的代码).
19     int front;
20     int back;
21     int window_size;
22     // true -> increasing(not strictly)
23     // false -> decreasing(not strictly)
24     bool order;
25 public:
26     OrderedQueue();
27     OrderedQueue(int window_size, bool order);
28     void push_back(Data d);
29     Data get_window_front(int pos);
30     void clear();
31     bool empty();
32 };
33 
34 OrderedQueue::OrderedQueue() {
35     window_size = 3;
36     order = true;
37     clear();
38 }
39 
40 OrderedQueue::OrderedQueue(int window_size, bool order) {
41     this->window_size = window_size;
42     this->order = order;
43     clear();
44 }
45 
46 void OrderedQueue::clear() {
47     front = back = 0;
48 }
49 
50 bool OrderedQueue::empty() {
51     return front == back;
52 }
53 
54 void OrderedQueue::push_back(Data d) {
55     while (front < back) {
56         Data tail = que[back - 1];
57         bool tag = order ? d.val > tail.val : d.val < tail.val;
58         if (tag) {
59             break;
60         } else {
61             back--;
62         }
63     }
64     que[back++] = d;
65 }
66 
67 Data OrderedQueue::get_window_front(int pos) {
68     while (front < back && que[front].idx < pos - window_size + 1) {
69         front++;
70     }
71     return que[front];
72 }
73 
74 
75 int main() {
76     int a[8] = {1, 3, -1, -3, 5, 3, 6, 7};
77     int wsize = 3;
78     OrderedQueue oq1 = OrderedQueue(wsize, true);
79     OrderedQueue oq2 = OrderedQueue(wsize, false);
80     for (int i = 0; i < 8; i++) {
81         oq1.push_back(Data(a[i], i));
82         oq2.push_back(Data(a[i], i));
83         if (i + 1 >= wsize) {
84             std::cout << "在区间[" << (i - wsize + 1) << "," << i << "]内的最小值为" <<  oq1.get_window_front(i).val << std::endl;
85             std::cout << "在区间[" << (i - wsize + 1) << "," << i << "]内的最大值为" <<  oq2.get_window_front(i).val << std::endl;
86         }
87     }
88     return 0;
89 }

 

  

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